એક સમાંગ પદાર્થ માટે સંકલન $\int \vec{r} dm = 0$ કયા બિંદુ માટે થાય છે?

$L$ લંબાઈનો એક સમાન સળિયો $x$-અક્ષ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યો છે કે તેનો એક છેડો ઉગમબિંદુ પર છે. જો સળિયાની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda(x) = ax$ મુજબ બદલાતી હોય,જ્યાં $a$ અચળાંક છે,તો સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.

$1 \, g, 2 \, g$ અને $3 \, g$ દળ ધરાવતા કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે. જ્યારે $4 \, g$ દળ ધરાવતો અને $\alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ સ્થાનસદિશ ધરાવતો કણ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ મળે છે. જો $\alpha$ અચળ હોય,તો તેનું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ?

$L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતો એક સમાન સળિયો $x$-અક્ષ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યો છે કે તેનો એક છેડો ઉગમબિંદુ પર છે. સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ શોધો.

$L$ લંબાઈનો એક પાતળો સમાન સળિયો ઘર્ષણ ધરાવતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર બિંદુ $P$ આગળ શિરોલંબ સ્થિતિમાં સંતુલિત છે. જો સળિયાના ઉપરના છેડાને થોડો જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે,તો જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ થાય ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન:

સમાન દળ ઘનતા અને $L, L/2, L/4, \dots$ લંબાઈ ધરાવતા અનંત સળિયાઓને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એકબીજા પર અનંત સુધી મૂકવામાં આવ્યા છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x-$ યામ શોધો.